信号的分类

简介

本文主要说一下数字信号处理的一些基本知识,这其中主要介绍一下信号的基本概念以及分类,主要以确定信号以及随机信号两大类来分别展开对信号处理当中的基本信号的分类做进一步的概述和举例。根据信号在时域的描述可分为确定信号和非确定信号两大类，这里的非确定信号主要指的是随机信号,确定性信号主要分为周期信号和非周期信号当然这里的周期信号又分为正弦周期信号和复杂周期信号；非周期信号分为准周期信号和瞬态信号两类,有关信号具体的描述本文将会进一步阐述。

确定信号

确定信号又称“确知信号”，“确定性信号”。可用确定的函数关系表达的信号。即可根据一确定的函数关系求得其在定义域中任意时刻或空间任意点处的数值的信号,比如正弦信号，方波信号，阶跃信号等一系列有确定函数关系的信号都属于确定信号。确定信号分为周期信号和非周期信号。

1.周期信号

周期信号(periodic signal)是指在时间上重复某一变化规律的信号，典型的函数如三角函数等. 周期信号有三个特点:(1)周期信号必须在时间上是无始无终的,即自变量t的取值范围t=R;(2)随时间变化的规律必须具有周期性,其周期为T;(3)在各周期内信号的波型完全一致.

1.1正弦周期信号

正弦或余弦类信号这里统称为正弦信号(sinusoidal signal),因为他们只是相位差的关系。正弦周期信号主要有以下几点性质：(1)同频率正弦信号相加，即使振幅初相位不同，相加结果仍是原频率正弦信号;(2) 如果一个正弦信号的频率 w1 是另一个正弦信号频率 w0 的整数倍,合成信号是频率为 w0 的非正弦周期信号。w0 是基波频率 w1 是谐波频率。 (3)正弦信号的微分和积分仍然是同频率的正弦信号.

利用matlab生成正弦信号图像

t = -10:0.01:10
ya = sin(t);
subplot(121);
plot(t, ya);
xlabel('t');
ylabel('f[t]');
title('sinusoidal signal');

hold on;

k = -10 : 10;
yd = sin(k);
subplot(122);
stem(k, yd);

xlabel('k');
ylabel('f[k]');
title('sinusoidal signal');

正弦信号图像

1.2复杂周期信号

顾名思义复杂周期信号不像正余弦这些周期相对简单的信号,这类信号的周期较为复杂,在处理当中需要用到一些特殊的处理手段。这里便提到傅里叶变换,即任何周期函数都可以用收敛的正弦级数表示。傅里叶级数把一个复杂的周期信号表示成许多正余弦信号之和的形式。由于级数中的每一项都对应一个频率分量，并旦，既是该分量的时域描述又是频域描述。因此，傅里叶级数本身就是复杂周期信号的频域描述

2 非周期信号

简单来说不具有周期性的信号称为非周期信号,是指确定性信号中那些不具有周期重复性的信号，它又分为准周期信号和瞬变信号。例如单位冲激信号(unit impulse signal)。

实例

2.1准周期信号

准周期信号是由一些不同频率的简谐信号叠加而成的信号，且各简谐分量的频率之比不全为有理数。可以理解为由有限个简单周期信号合成,且各分量间不具有公共周期。并且这些简谐信号的频率不成简单整数比，叠加而成的和信号不再为周期信号，但和信号的频率描述还具有周期信号的特点，称为准周期信号。

举例

\[y(t)=\sin 3 t+\sin \sqrt{2} t\]

2.2瞬变信号

瞬变信号:准周期信号之外的其他非周期信号。这类信号的特征在于它的瞬变性,或在一定的时间内存在,或随着时间的延长而逐渐衰减.其一般持续时间短,有明显的开端和结束特征.其特点是强时变以及短时段.

实例: 机器部件受瞬时冲击,各种撞击声,火箭发射等.

随机信号

又称不确定信号，随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的，不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测只代表其在变动范围中可能产生的结果之一，其值的变动服从统计规律。它不是时间的确定函数，其在定义域内的任意时刻没有确定的函数值。在描述随机信号时我们必须采用概率统计的方法，为了更好的了解随机信号的各种情况,介绍一下以下几个重要概念。

样本函数:按时间历程所作的各次长时间观测记录；
样本记录:按时间历程所作的各次有限时间观测记录；
随机过程:全部样本函数的集合(总体);
集合平均:将集合中所有的样本函数对某一时刻的观测值取平均;
时间平均:按单个样本的时间历程进行平均。

随机信号的统计特征

随机信号不能用确定的时间函数来表达，只能通过其随时间或其幅度取值的统计特征来表达。这些统计特征值有：数学期望值，描述随机信号的平均值;方差值，描述随机信号幅度变化的强度;概率密度函数，是描述信号振幅数值的概率; 相关函数，描述随机信号的每两个具有一定时间间隔的幅度值之间的联系程度的数值，它是时间间隔的一个函数; 功率谱密度，描述随机信号在平均意义上的功率谱特性。

幅值域描述

(1)均值

\[\mu_{x}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x(t) d t\]

(2)方差

\[\psi_{x}^{2}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x(t) d t\]

(3)均方值

\[\sigma_{x}^{2}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}\left[x(t)-\mu_{x}\right]^{2} d t\]

概率密度函数与概率分布函数

(1)概率密度函数

概率密度函数时指一个随机信号的瞬时值落在指定区间(x,x+Δx)内的概率对Δx比值的极限值。概率密度函数p(x)的定义为：

\[\begin{split}\begin{array}{l} p(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{P[x<x(t) \leq x+\Delta x]}{\Delta x} \\ p(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0, T \rightarrow \infty} \frac{T_{x} / T}{\Delta x} \end{array}\end{split}\]

(2)概率分布函数

概率分布函数P(x)表示随机信号的瞬时值低于某一给定值x的概率,即:

\[P(x)=P[x(t) \leq x]=\lim \frac{T_{x}}{T}\]

式中Tx为x(t)值小于或等于x的总时间

(3)概率密度函数与概率分布函数间的关系

\[\begin{split}\begin{array}{l} p(x)=\frac{d P(x)}{d x} \\ P(x)=\int_{-\infty}^{\infty} p(x) d x \end{array}\end{split}\]

利用matlab生成一组随机数序列

Matlab中rand和randn是产生随机数的命令,随机信号的产生需要调用rand(m,n)函数,表示产生m行,n列的0-1之间的随机数. x=rand(1,N)产生(0, 1)区间均匀分布的长度为N的随机信号;x=randn(1,N)产生长度为N且具有零均值和单位方差的正态分布的随机信号. rand(n)函数:生成0到1之间的n阶随机数方阵,rand(m,n):生成0到1之间的m×n的随机数矩阵。matlab中产生伪随机数需要种子,把不同的种子用于不同的随机数生成器产生不同的伪随机数。 matlab当中类似于随机数生成的函数如binornd 二项分布随机数生成器,exprnd指数分布生成器,unifrnd联系均匀分布的随机数生成器等。相关的函数示例可以在matlab当中输入help+具体函数名称学习具体函数的用法。

matlab代码示例

t = 1 : 1 : 60;         %定义自变量的范围
N = length(t);          %求出序列t的长度
xinhao = rand(1,N)      %调用rand函数
subplot(121)
plot(t, xinhao, 'r');   %绘制生成的随机信号图形
xlabel('t_1');
ylabel('f_1(t)');
title('随机信号图');
subplot(122)
stem(t,xinhao,'r')
% 添加X轴、Y轴、标题
xlabel('t_2');
ylabel('f_2(t)');
title('随机信号图(茎状图)');

3 平稳随机信号

若各种集合平均值（如均值、方差、均方值等）不随时间变化，则称该信号为平稳随机信号。平稳信号分严平稳和宽平稳,严平稳的条件在信号处理中太严格,不实用,一般所说的平稳是指宽平稳,满足三个条件:1. 均值为与时间无关的常数;2. 均方有界;3. 自相关函数与信号时间的起始点无关，只和时间差有关。宽平稳信号的方差和均方也是与时间无关的。平稳随机信号也可分为各态历经和非各态历信号。

若信号X(n)满足：

\[\begin{split}\begin{array}{l} \text { 1. }\mu_{X}(n)=E\{X(n)\}=\mu_{X} \\ \text { 2. }E\left\{\left|X(n)-\mu_{X}\right|^{2}\right\}=\sigma_{X}^{2}<\infty \\ \text { 3. }r_{X}\left(n_{1}, n_{2}\right)=E\left\{X^{*}(n) X(n+m)\right\}=r_{X}(m) \end{array}\end{split}\]

则X(n)为宽平稳(或广义)平稳信号。在实际中大部分信号都可以看作宽平稳的信号处理。

3.1 各态历经信号

基本概念

各态历经性是随机信号的一种特性，通俗地说，就是指经历各种状态，在通信理论中，对于一个平稳随机过程，如果统计平均值等于时间平均值，统计自相关函数等于时间自相关函数则称之为各态历经性的平稳随机过程。在随机过程中，各态历经性的定义分为两个部分，即数学期望的各态历经性和相关函数的各态历经性。数学期望的各态历经性和相关函数的各态历经性统称为平稳过程的各态历经性，但二者存在显著的不同。同时(1)只有平稳随机过程才有可能是各态历经性的(但是需要满足一定条件)。(2)各态历经的随机过程一定是平稳的。（也即“平稳的随机过程”是“各态历经的随机过程”的必要而非充分条件。

3.2 非各态历经信号

某一单个样本函数的时间平均统计特征不等于该过程集合平均统计特征。在平稳随机信号中，若任一个样本函数的时间平均值（即对单个样本按时间历程作时间平均）不等于信号的集合均值，则称该平稳随机信号为非各态历经信号。至于这过程就是非各态历经信号所有可能出现的结果的总体。

4 非平稳随机信号

非平稳信号是指分布参数或者分布律随时间发生变化的信号。平稳和非平稳都是针对随机信号说的，一般的分析方法有时域分析、频域分析、时频联合分析。非平稳随机信号的统计特征是时间的函数。与平稳随机信号的统计描述相似，传统上使用概率与数字特征来描述，工程上多用相关函数与时变功率谱来描述，近年来还发展了用时变参数信号模拟描述的方法。

随机信号的统计特征: 随机信号不能用确定的时间函数来表达，只能通过其随时间或其幅度取值的统计特征来表达。这些统计特征值有：数学期望值，描述随机信号的平均值;方差值，描述随机信号幅度变化的强度;概率密度函数，是描述信号振幅数值的概率; 相关函数，描述随机信号的每两个具有一定时间间隔的幅度值之间的联系程度的数值，它是时间间隔的一个函数; 功率谱密度，描述随机信号在平均意义上的功率谱特性。