信号的时域分析

1 信号的时域分析

时域（时间域）——自变量是时间,即横轴是时间,纵轴是信号的变化。其动态信号x(t)是描述信号在不同时刻取值的函数。以时间为自变量描述物理量的变化是信号最基本、最直观的表达形式

时域分析：在时域内对信号进行滤波、放大、统计特征计算、相关性分析等处理，统称为信号的时域分析。通过时域的分析方法可以有效提高信噪比，求取信号波形在不同时刻的相似性和关联性，获得反映机械设备运行状态的特征参数，为机械系统动态分析和故障诊断提供有效信息。

时域分析:常见的时域分析包括统计分析、自相关分析和互相关分析等方法。此处主要罗列统计分析：常见的统计分析参数分为有量纲的特征值主要包括:最大值、最小值、峰峰值、均值、方差、标准差、均方值、均方根值(RMS)、均方误差(MSE),均方根误差(RMSE),方根幅值等。

2 有量纲特征值

2.1 均值

均值(average)是信号的平均，是一阶矩，反映数据集中趋势的一项指标，体现了数据总体的一般水平，表示一组数据信号的静态分量，多数情况下表示振动的平衡位置,可以表示为：

\[\mu_{x}(t)=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} x_{i}(t)=\mathrm{E}[X(t)]\]

2.2 均方值

均方值(mean-square value)是信号的平方的平均（信号→平方→平均值），代表了信号的能量，是二阶矩，可以表示为:

\[\Psi_{X}^{2}(t)=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_{i}^{2}(t)=\mathrm{E}\left[X^{2}(t)\right]\]

2.3 方差

方差(Variance)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数，代表了信号能量的动态分量（均值的平方是静态分量），反应数据间的离散程度，是二阶中心距，可以表示为：

\[\sigma_{X}^{2}(t)=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left[X_{i}(t)-\mu_{X}(t)\right]^{2}\]

2.4 标准差

标准差是方差的算术平方根,反映了数据的离散程度.

2.5 均方根

均方根(rms value)又叫有效值,反映信号的能量大小，常用均方根值来分析噪声，用于评价振动等级或烈度。在数据统计分析中，将所有值平方求和，求其均值，再开平方。

\[R M S=\sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_{i}^{2}(t)}\]

2.6 均方误差

均方误差(mean-square error, MSE)是反映估计量与被估计量之间差异程度的一种度量。一般地，在样本量一定时，评价一个点估计的好坏标准使用的指标总是点估计与参数真值的距离的函数，最常用的函数是距离的平方，由于估计量具有随机性，可以对该函数求期望，这就是下式给出的均方误差：

\[\operatorname{MSE}(\hat{\theta})=E(\hat{\theta}-\theta)^{2}\]

2.7 均方根误差

均方根误差(RMSE)就是均方误差的算术平方根:

\[R M S E =\sqrt{M S E}\]

公式总结

有量纲时域特征参数计算公式

均值

\[\bar{x} = \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i\]

均方值

\[x_{rms1} = \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i^2\]

均方根值

\[x_{rms} = \sqrt{\frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i^2}\]

方差

\[\sigma_{x}^{2} = \frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{N} (x_i-\bar{x})^2\]

绝对平均值

\[|\bar{x}| = \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}|x_i|\]

方根幅值

\[x_r =\left[\frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N} \sqrt{|x_i|}\right]^2\]

最大值

\[x_{max} = Max\left\{ x_i \right\}\]

最小值

\[x_{min} = Min\left\{ x_i \right\}\]

峰值

\[x_{p} = Max \left\{ |x_{max}|,|x_{min}| \right\}\]

峰峰值

\[x_{p-p} = Max \left\{ x_i \right\} - Min \left\{ x_i \right\}\]

歪（偏）度

\[\alpha = \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}{x_i}^3\]

峭度

\[\beta = \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}{x_i}^4\]

…

…

…

…

3 无量纲特征值

3.1 峰值因子

峰值因子(crest factor又称peak-to-average ratio(PAR) 或peak-to-average power ratio(PAPR) 波形的测量,计算波形的振幅再除以RMS (time-averaged)所得到的值域.用来检测信号中是否存在冲击的统计指标。峰值是一个时不稳参数，不同的时刻变动很大。由于峰值的稳定性不好，对冲击的敏感度也较差，因此在故障诊断中，该指标逐渐被峭度指标取代。

3.2 裕度因子

裕度因子是信号峰值与方根幅值的比值，可以用于检测机械设备的磨损情况。

3.3 波形因子

波形因子是有效值(RMS)与整流平均值的比值。

3.4 脉冲因子

脉冲因子是信号峰值与整流平均值（绝对值的平均值）的比值。脉冲因子和峰值因子的区别在分母上，由于对于同一组数据整流平均值小于有效值，所以脉冲因子大于峰值因子。脉冲因子也同样用以检测信号中是否存在冲击。

3.5 峭度因子

峭度因子是表示波形平缓程度的,用于描述变量的分布。当K=3定义为分布曲线具有正常峰度 (即零峭);当K>3时,分布曲线具有正峭度。峭度指标是无量纲参数，由于它与轴承转速、尺寸、载荷等无关，对冲击信号特别敏感，特别适用于表面损伤类故障、尤其是早期故障的诊断。

3.3 偏度因子

偏度(skewness),是统计数据分布偏斜方向和程度的度量，是统计数据分布非对称程度的数字特征。偏度(Skewness)亦称偏态、偏态系数。偏度和峭度因子都是描述分布的无量纲特征值，表征概率分布密度曲线相对于平均值不对称程度的特征数。直观看来就是密度函数曲线尾部的相对长度

峰值因子和脉冲因子都是用来检测信号中有无冲击的指标，裕度因子常用来检测机械设备的磨损状况。峭度因子也是对振动信号冲击特性的反应，在评价这些指标的性能时，通常使用敏感性与稳定性来衡量。脉冲因子、峰值因子和峭度因子都对冲击类故障比较敏感，特别是当故障早期发生时，它们有明显的增加；但上升到一定程度后，随故障的逐渐发展，反而会下降，表明它们对早期故障有较高的敏感性，但稳定性不好。有效值的稳定性较好，但对早期故障信号不敏感。为了取得较好的效果，常常会将它们同时应用。

公式总结

无量纲时域特征参数计算公式

波形因子

\[S_{f} = \frac {x_{rms}}{|\bar{x}|} = \frac {\sqrt{\frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i^2}}{\frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}|x_i|}\]

峰值因子

\[C_{f} = \frac {x_{max}}{x_{rms}} = \frac {Max \left\{ x_i \right\}}{\sqrt{\frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i^2}}\]

脉冲因子

\[I_{f} = \frac {x_{max}}{|\bar{x}|} = \frac {Max \left\{ x_i \right\}}{\frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}|x_i|}\]

裕度因子

\[CL_{f} = \frac {x_{max}}{x_r} = \frac {Max \left\{ x_i \right\}}{\left[\frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N} \sqrt{|x_i|}\right]^2 }\]

峭度因子

\[K_{r} = \frac {\beta}{x_{rms}^4} = \frac {\frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}{x_i}^4}{{\sqrt{\frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i^2}}^4}\]

偏度因子

\[P = \frac {\alpha}{x_{rms}^3} = \frac {\frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}{x_i}^3}{{\sqrt{\frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i^2}}^3}\]

…

…

4 matlab代码实现

根据以上的时域特征的有量纲以及无量纲特征值的定义，我们可以对目标信号进行处理，获取相应的特征值。

4.1 例1,提取正弦信号的时域特征值

matlab程序

x=0:0.01:2*pi;
y=sin(x);                   %信号
plot(y);
Max = max(y);                       %最大值
Min = min(y);                       %最小值
Mean = mean(y);                     %平均值
Peak = ma-mi;                       %峰-峰值
Av = mean(abs(y));          %绝对值的平均值(整流平均值)
Var = var(y);                       %方差
Std = std(y);                       %标准差
Kurtosis = kurtosis(y);             %峭度
Skewness = skewness(y);               %偏度
Rms= rms(y);                        %均方根
S = rm/av;                  %波形因子
C = pk/rm;                  %峰值因子
I = pk/av;                  %脉冲因子
Xr = mean(sqrt(abs(y)))^2;
L = pk/xr;                  %裕度因子

正弦函数信号图像如下

时域特征值数据如下

4.1 例2

matlab程序

x=1:1:60;               %定义自变量的取值范围
N=length(x)             %求出序列的长度
y=rand(1 ,N);                       %生成0-1之间的随机信号
plot(y);
Max = max(y);                       %最大值
Min = min(y);                       %最小值
Mean = mean(y);                     %平均值
Peak = ma-mi;                       %峰-峰值
Av = mean(abs(y));          %绝对值的平均值(整流平均值)
Var = var(y);                       %方差
Std = std(y);                       %标准差
Kurtosis = kurtosis(y);             %峭度
Skewness = skewness(y);               %偏度
Rms= rms(y);                        %均方根
S = rm/av;                  %波形因子
C = pk/rm;                  %峰值因子
I = pk/av;                  %脉冲因子
Xr = mean(sqrt(abs(y)))^2;
L = pk/xr;                  %裕度因子

随机信号图像如下

时域特征值数据如下

参考：

时域分析——无量纲特征值含义一网打尽.