自相关和互相关函数
基本概念
相关函数是描述信号X(s),Y(t),(这两个信号可以是随机的,也可以是确定的)在任意两个不同时刻s、t 的取值之间的相关程度。两个信号之间的相似性大小用相关系数来衡量。定义：
\[\rho_{x y}=\frac{\operatorname{COV}(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}=\frac{\sigma_{x y}}{\sigma_{x} \sigma_{y}}\]
称为变量 X 和 Y 的相关系数。若相关系数 = 0,则称 X与Y 不相关。在信号分析里，他们分别表示的是两个时间序列之间和同 一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度,即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1,t2的取值之间 的相关程度,自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1,t2的取值之间的相关程度。
1 自相关函数
自相关函数 是描述随机信号 x(t) 在任意不同时刻 t1,t2的取值之间的相关程度。自相关函数,是对信号自身的互相关,表示同一 序列不同时刻的相关程度。在信号处理当中当我们为比较某信号与另一延时信号之间的相似度,需要引入相关函数的概念。
\[R_{f}(\tau)=f(\tau) * f^{*}(-\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t+\tau) f^{*}(t) d t=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) f^{*}(t-\tau) d t\]
其中“*”是卷积运算，(.)*为取共轭运算。 同一时间函数在瞬时t和t+a的两个值相乘积的平均值作为延迟时间t的函数,它是信号与延迟后信号之间相似性的度量。延迟时间为零时,则成为信号的均方值,此时它的值最大。 简而言之，自相关函数是表达信号和它的多径信号的相似程度。
1.1自相关函数的相关性质
自相关函数是偶函数；
延迟时间为零时，则成为信号的均方值，此时它的值最大；
周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。
2 互相关函数
自相关是互相关的一种特殊情况,互相关函数是描述随机信号 x(t)、y(t) 在任意两个不同时刻s, 的取值之间的相关程度,其定义为：
\[R_{12}=\int_{-\infty}^{+\infty} X(t) S(t+\tau) d t\]
上式为X(t),S(t)的互相关函数
3 matlab应用举例
自相关函数应用举例
dt=.1;
t=[0:dt:100];
x=cos(t);
[a,b]=xcorr(x,'unbiased'); %调用计算自相关函数的指令xcorr函数
plot(b*dt,a); %输出图像
对于互相关函数只需要将调用函数类型修改一下就行,修改如下:
dt=.1;
t=[0:dt:100];
x=cos(t);
[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased'); %调用xcorr函数指令
plot(b*dt,a); %输出图像
- 参考：
-
相关函数.